Historia de la Filosofía
1. Naturaleza, hombre y sociedad en el pensamiento griego.-
1.1 Naturaleza y logos en la filosofía presocrática.-
Antes del s. VII a. C. nos encontramos el mito como forma de pensamiento en la antigua Grecia.
El mito puede ser definido como un conjunto de leyendas imaginativas y fantásticas que narran el origen del universo, la situación del hombre y el final de los tiempos en los que volverá a existir la felicidad perdida al comienzo de éstos; pero del mismo modo, el mito es una actitud intelectual en la que se produce una personificación de las fuerzas de la naturaleza, es decir, se dota de voluntad y personalidad a los elementos naturales. Así por ejemplo, en la mitología griega hay un Dios del mar, otro del Viento, ... Estos dioses actúan según su voluntad y capricho.Hacia el s. VII a. C. se produce el nacimiento del pensamiento racional.
Con los griegos aparece la idea de naturaleza (physis) a la que se puede atribuir 2 significados:
• El conjunto de todas las cosas
• La esencia de las cosas
La idea del arche comprende 3 aspectos:
• Origen explicativo de la naturaleza, de donde se conforman todos los seres. Los griegos conciben el universo como algo eterno, y para explicar su origen se ha de recurrir a algo que prevalezca a través del movimiento: para unos será el aire, para otros el agua, ...
• Sustrato, de lo que están compuestos todos los seres.
• Causa, que explique el movimiento o cambio
La primera escuela presocrática que nos encontramos es la de los milesios, sobre el s. VII a. C.; a ellos se debe las primeras identificaciones del arche. Distinguimos:
• Tales de Mileto. Sostiene que el arche es el agua, que a través de distintos procesos de condensación y rarificación produce ola multiplicidad
• Anaxímenes de Mileto. Identifica el arche con el aire.
• Anaximandro de Mileto. Probablemente el menos convencido del carácter racional del conocimiento, identifica el arche con algo indeterminado, al que denomina apeiron, algo que no podemos entender o conocer
Cronológicamente posterior, s. VI a. C., es la escuela de Pitágoras. Pitágoras, tras estudiar matemáticas en Egipto regresa a Grecia donde funda una escuela que, por su carácter esotérico y cerrado más bien puede considerarse como una secta. Introducen las matemáticas como la estructura del universo.
Entre los siglos VI-V a. C. nos encontramos con la figura de Heráclito de Efeso. La dialéctica es pues, según Heráclito, el arche explicativo del Universo, que representó mediante el fuego.
Parménides de Elea, coetáneo de Heráclito. El arche será un ser inmóvil y único; es pues, el único filósofo griego que niega el movimiento.
Zenón de Elea y Melisso de Samos que demostraron racionalmente la imposibilidad del movimiento mediante aporías, razonamientos de los cuales si admitimos los fundamentos tenemos que admitir las conclusiones.
El primer pluralista fue Anaxágoras (s. V a. C.), según el cual la realidad está formada por unas partículas que denominó homeomerías, que traducido literalmente significa todo está en todo y participa de todo.
Demócrito de abdera (s. V a. C.), recibe su influencia de los planteamientos de Parménides: existe una única realidad en el Universo, pero esa realidad no tiene por que ser esférica. Para él los átomos o partículas que forman el Universo tienen multitud de formas y son eternos, múltiples desde la eternidad.
1.2 La autoexperiencia moral en Sócrates
Sofistas significa literalmente sabios y era el título que se daban a sí mismo un conjunto de pensadores que florecen en la segunda mitad del s. V y que tienen en común 2 características:
• Incluyen disciplinas humanísticas entre sus enseñanzas (retórica, derecho, moral, política, ...), útiles para el ejercicio del poder, puesto que sus enseñanzas estaban orientadas normalmente a hijos de comerciantes ricos.
• Son los primeros profesionales de la enseñanza.
Nos encontramos ante 2 principios básicos en su filosofía:
• Escepticismo (la verdad absoluta no existe) y relativismo (aunque la verdad exista, no podría ser conocida), cuyos principales representantes son Gorgias de Leontini y Protágoras de Abdera, respectivamente.
• No validez del lenguaje o la palabra para llegar a la verdad.
Protágoras, sofista griego, en su escrito "Sobre la verdad" expresa su principio "El hombre es la medida de todas las cosas", aserción que lo sitúa en el origen del relativismo subjetivista manifestado también en su afirmación acerca de la imposibilidad de conseguir una verdad universal y absoluta para todos los hombres.
1.3 Platón
1.3.1 Naturaleza del alma y su relación con el cuerpo
Platón fue un gran discípulo de Sócrates que crea su escuela en Atenas y que fue a su vez maestro de otros grandes filósofos como Aristóteles.
Su obra más importante son los diálogos, entre los que destacan: Fedon (inmortalidad del alma), Timeo (Generación del Universo), República (Teoría de las Ideas), Sofista, Gorgias, ... La enseñanza mediante diálogos la copia de su maestro Sócrates, y es a través de dicho personaje donde generalmente expone sus ideas.
Para Platón existen 2 ámbitos:
• Mundo o ámbito físico("aiszetos on"): Mutable, perecedero, engañoso, falso, ...
• Mundo o ámbito de las ideas ("ontos on"): Lo realmente "real", inmutable, eterno, simple...
Para Platón existen en el hombre 3 almas, o tres partes de una misma alma (nunca lo dejó claro), que son:
• Alma racional (razón). Destinada al conocimiento de las ideas. Es la superior, y, parece que quiso decir, aunque tampoco está claro, que es la única inmortal. Le dio una localización física en la cabeza y una virtud, la prudencia.
• Alma irascible (fortaleza). Voluntad, fortaleza o ánimo del hombre para superar los problemas y alcanzar las finalidades. Según Platón está situada en el pecho y tiene la virtud de la fortaleza.
• Alma concuspicible (apetito). Es la más baja del hombre. Está constituida por sus deseos y necesidades básicas. Está situada en el vientre y tiene la virtud de la templanza
1.4 Aristóteles.-
1.4.1 Naturaleza y causalidad.
Aristóteles realizó la siguiente división de las ciencias teóricas:
• Física, cuyo objeto de estudio son los seres sometidos a movimiento y que tienen existencia real .
• Matemáticas, cuyo objeto de estudio son los seres no sometidos a movimiento y que no tienen existencia real.
• Filosofía primera, ontología o teología, cuyo objeto de estudio son los seres no sometidos a movimiento y que tienen existencia real.
El tema de la naturaleza es tratado por Aristóteles tanto en la física como en la ontología. En general, sigue los planteamientos platónicos, pero difiere en la teleología o finalidad del Universo.
Aristóteles introduce una distinción para poder explicar el movimiento. Así el NO SER puede ser:
• Absoluto: lo que no se es y no se puede llegar a ser. Ej.: Una piedra no es un niño ni puede llegar a serlo.
• Relativo: lo que no se es pero se puede llegar a ser. Ej.: Un niño no es un hombre, pero en el futuro lo será.
Aristóteles distinguió 2 tipos de movimiento o cambio:
• Cambio Accidental: En el cual permanece una sustancia, desaparece un accidente y aparece otro nuevo. Puede ser: cambio cuantitativo (cambia la cantidad), cualitativo (cambia la cualidad) o local (cambia la localización)
• Cambio Sustancial: Se produce un cambio en la sustancia.
Analizando el movimiento nos encontramos con que siempre intervienen estos elementos:
• Algo permanente, la materia última: materia indeterminada en potencia. Es indeterminada porque siempre es en potencia y, por tanto, puede convertirse en cualquier otra cosa.
• Algo desaparece, una sustancia: un accidente que en un momento dado adopta la materia.
• Algo que aparece, una sustancia nueva: un nuevo accidente o forma que adopta la materia.
2. Racionalismo y empirismo.-
2.1. El Renacimiento: ciencia y humanismo en el origen de la modernidad
El Renacimiento hemos de entenderlo como consecuencia de la crisis del siglo XIV que significa el fin del feudalismo y el comienzo del mundo burgués.
El núcleo ideológico del Renacimiento es el Humanismo, que podemos definir como la nueva cultura que surge a partir del s XV que se centra en el hombre (antropocéntrico) y que tiene como finalidad al hombre (antropotélico).
2.2 Descartes
Descartes es el padre de la filosofía moderna. Sus obras más importantes son:
• Reglas para la dirección del espíritu.
• Principio de Filosofía
• Meditaciones metafísicas
• Discurso del método
Su filosofía surge en el siguiente contexto:
• Se ha producido ya una cierta ruptura con la filosofía medieval, pero no se había planteado aún una nueva forma de entender la verdad. Esta filosofía se va a basar en la confianza en la razón y la consideración de esta como algo interno del individuo.
2.2.2 Estructura de la realidad. Teoría de las 3 sustancias.
Descartes comparte la misma definición de sustancia de otros racionalistas: la sustancia es aquello que existe por sí mismo y no necesita de otra realidad para existir.
Para él existen 3 tipos de sustancias:
• Sustancia pensante -Res Cogitam-: YO
• Sustancia infinita -Res Infinita-: DIOS
• Sustancia extensa -Res Extensa-: CUERPO
• 2.3 Locke y Hume
• Locke y Hume constituyen, junto a Berkeley, los máximos representantes del empirismo. Se conoce como empirismo la doctrina filosófica que se desarrolla en Inglaterra en parte del siglo XVII y el siglo XVIII, y que considera la experiencia como la única fuente válida de conocimiento.
3. Filosofía de la Ilustración.-
3.1 Características generales de la Ilustración.
La Ilustración fue un movimiento ideológico, no solamente de carácter filosófico, sino cultural en el sentido amplio, que impregnó todas las actividades literarias, artísticas, históricas y religiosas. Se extiende y desarrolla durante el siglo XVIII, que suele denominarse "Siglo de la Ilustración" o "Siglo de las Luces".
Los países en los que tuvo mayor fuerza y relieve fueron:
• Inglaterra, donde se inició. Tuvo un carácter empirista-epistemológico, cultivó las ciencias de la naturaleza y cuestiones sobre la religión, en un espíritu de libertad y tolerancia, siendo los ilustrados ingleses más notables Newton, Boyle, Shaftesbury, Hutcheson y Mandeville.
• Francia. Las tensiones más relevantes son de orden moral, de derecho (especialmente derecho político) y del progreso histórico; ilustrados franceses importantes fueron Bayle, Montesquieu, Voltaire, Condornet, Diderot, D’Alambert, Condillac y Rosseau.
• Alemania. Se centrará en un análisis de la razón, con la intención de encontrar un conjunto de principios que rijan el conocimiento de la naturaleza y orienten la acción moral y política del hombre, estando representada por Lessing, Wolff, Baumgarten y, sobre todo, Kant.
Las características del pensamiento pueden expresarse en los siguientes apartados:
• Autolimitación rigurosa de la razón dentro de los límites de la experiencia
• La razón ilustrada busca abordar todo aspecto o dominio de la realidad, intentando extender la razón ilustrada al campo de la religión y de la política.
• La razón en el mundo puede y debe promover el progreso.
• El Iluminismo ilustrado mantiene el hedonismo.
3.4 Kant
Kant (1724-1804) fue un filosofo alemán; formado en el racionalismo, comienza a dudar del valor de la razón al leer a Hume, planteándose el problema del valor y los límites de ésta. La filosofía kantiana, pues, supone una síntesis del racionalismo y del empirismo, cerrando una época filosófica muy importante. Kant procede a un estudio de cómo es posible la construcción de la ciencia, llevando a cabo una reflexión sobre el problema de las relaciones de la razón con la realidad, que en ella aparecen vinculadas.
Sus obras más importantes son:
• Crítica de la razón pura
• Crítica de la razón práctica
• Crítica del juicio
• Fundamentación de la metafísica de las costumbres
• Los religión dentro de los límites de la nueva razón
Para comprender posteriormente los otros aspectos de la filosofía de Kant, hemos de tener unas nociones previas que nos ayuden a comprenderla.
Kant distinguió 2 grandes facultades dentro del conocimiento humano:
• La sensibilidad. Es pasiva, se limita simplemente a recibir una serie de impresiones sensibles, que Locke había llamado ideas de sensación y Hume impresiones.
• El entendimiento. Es activo, tiene una espontaneidad.
El entendimiento puede generar, según Kant, 2 tipos de ideas o conceptos:
• Conceptos puros o categorías: ideas o conceptos independientes de la experiencia. Se pueden distinguir 12.
• Conceptos empíricos: ideas obtenidas a partir de la experiencia.
Kant unifica los juicios, distinguiendo:
• Juicios analíticos. Aquello que se afirma en el predicado no añade nada nuevo al contenido en el concepto del sujeto. Se rigen por el principio de no contradicción y no son extensivos, es decir, no nos dan nuevas informaciones y por tanto no hacen que el conocimiento avance.
• Juicios sintéticos. Lo que se predica del sujeto no está contenido en el mismo. Son extensivos, ya que al añadir nuevas informaciones, permiten que el conocimiento avance.
También podemos clasificar los juicios distinguiendo entre:
• Juicios a priori. Su verdad es independiente de la experiencia. Tienen la característica de ser universales y necesarios
• Juicios a posteriori. Son verdaderos dependiendo de la experiencia, y, por tanto, nunca pueden ser universales y necesarios.
4.1 Marx
Karl Marx (1818-1883) fue un político, filosofo y economista alemán. Funda, junto a Hegels, el marxismo, corriente filosófica heredera de la filosofía clásica alemana, la economía política británica y el socialismo utópico francés y británico. La doctrina marxista está constituida por tres partes fundamentales, que constituyen un todo coherente :
• el materialismo filosófico (dialéctico e histórico)
• la doctrina económica
• la teoría del socialismo científico
4.2 Nietzsche
Nietzsche (1844-1900) fue un filósofo alemán que obtuvo muy joven la cátedra de filosofía clásica en la Universidad de Basilea.
En general, puede decirse que la filosofía de Nietzsche es la formulación completa del irracionalismo moderno. Su teoría se halla bajo el influjo del innatismo y la crítica de Schopenhauer al racionalismo hegeliano e intenta por caminos similares a los de aquél (la voluntad y la intuición) superar sus conclusiones pesimistas (la voluntad de vivir).
Por su asistematismo, que ha dado lugar a interpretaciones distintas, Nietzsche está detrás de las ideologías que han seguido esta orientación : influyó poderosamente en el nacionalsocialismo (presentándose como la realización de la moral del superhombre) y en tendencias izquierdistas radicales (en cuanto parte de un absoluto comenzar de nuevo). Su consideración del predominio de los instintos vitales sobre la razón es también un precedente del vitalismo.
Sus obras más importantes son :
• Más allá del bien y del mal
• El nacimiento de la tragedia en el origen de la música
• El corpúsculo de los ídolos
• Ecce Homo
• El gay saber
• Humano, demasiado humano
• Así habló Zaratustra
• La genealogía de la moral.
Historia de la Logica
La Edad Antigua
Mesopotamia
En Mesopotamia, el Manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli, escrito en el siglo XI a. C., se basó en un conjunto lógico de axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visión moderna de que, a través del examen e inspección de los síntomas de un paciente, es posible determinar el problema del mismo, su etiología y su desarrollo futuro, y las posibilidades de recuperación.1
Durante los siglos VII y VIII, los astrónomos babilonios empezaron a utilizar una lógica interna en sus sistemas de predicción planetaria que fue una importante contribución a la lógica y la filosofía de la ciencia.2 El pensamiento babilónico tuvo una considerable influencia en el pensamiento de la Grecia arcaica.3
La Antigua Grecia
En la Antigua Grecia, emergieron dos tradiciones lógicas opuestas. La lógica estoica estaba enraizada en Euclides de Megara, pupilo de Sócrates, y con su concentración en la lógica proposicional es la que quizás esté más próxima a la lógica moderna. Sin embargo, la tradición que sobrevivió a las influencias de culturas posteriores fue la peripatética, que tuvo su origen en el conjunto de obras de Aristóteles conocido como Organon (instrumento), la primera obra griega sistemática sobre lógica. El examen de Aristóteles del silogismo permite interesantes comparaciones con el esquema indio de la inferencia y la menos rígida discusión china.
A través del latín en Europa occidental y de distintas lenguas orientales como el árabe, armenio y georgiano, la tradición aristotélica fue considerada de forma especial para la codificación de las leyes del razonamiento. Solo a partir del siglo XIX cambió este enfoque.
La Antigua India
Dos de las seis escuelas indias de pensamiento están relacionadas con la lógica: Nyāya y Vaisheshika. Los Nyaya Sutras de Aksapada Gautama constituyen el núcleo de textos de la escuela Nyaya, una de las seis escuelas ortodoxas de filosofía hindú. Esta escuela realista trabajó con un rígido esquema de inferencia de cinco miembros que engloba una premisa inicial, una razón, un ejemplo, una aplicación y una conclusión. La filosofía budista idealista se convirtió en la principal oponente de los Naiyayikas. Nāgārjuna, el fundador del camino intermedio Madhyamika, desarrolló un análisis conocido como "catuskoti" o tetralemma. Esta argumentación de cuatro aspectos examinó y rechazó sistemáticamente la afirmación de una proposición, su negación, la afirmación conjunta y negación, y finalmente, el rechazo de su afirmación y negación. Pero fue con Dignaga y su sucesor Dharmakirti con quienes la lógica budista alcanzó su mayor altura. Su análisis, centrado en la definición de la implicación necesariamente lógica, "vyapti", conocida también como concomitancia o penetración invariable. A este fin, fue desarrollada una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. Comprende lo que se podría llamar la inclusión y exclusión de propiedades definitorias. Las dificultades concernientes a esta empresa, en parte, estimularon a la escuela neoescolástica de Navya-Nyāya, que introdujo un análisis formal de la inferencia en al siglo XVI.
La Antigua China
En China, un contemporáneo de Confucio, Mozi, "Maestro Mo", es considerado como el fundador de la escuela Mohista (mohísmo), cuyos principios están relacionados con temas como la inferencia válida y las condiciones de las conclusiones correctas. En particular, una de las escuelas que siguieron al mohísmo, los lógicos, es considerada por varios expertos como la primera que investigó la lógica formal. Desafortunadamente, debido a la rígida normativa legal durante la dinastía Qin, esa línea de investigación desapareció de China hasta la introducción de la filosofía india por parte del budismo.
La Edad Media
El mundo islámico
Durante un tiempo tras la muerte de Mahoma, la ley islámica consideró importante formular estándares para los argumentos, lo que dio lugar a una nueva aproximación a la lógica en Kalam, pero esta aproximación fue más tarde desplazada por ideas tomadas de la filosofía griega y helenística con el auge de los filósofos de la escuela Mu'tazili, que valoraron extraordinariamente el Organon de Aristóteles. Las obras de los filósofos islámicos con influencias helenísticas fueron cruciales para la recepción de la lógica aristótelica en la Europa medieval, junto con los comentarios sobre el Organon elaborados por Averroes. Las obras de al-Farabi, Avicenna, al-Ghazali y otros lógicos musulmanes que en ocasiones criticaron y corrigieron la lógica aristotélica e introdujeron sus propias formas de lógica, también desempeñaron un papel central en el subsecuente desarrollo de la lógica europea medieval.
La lógica islámica no solo incluye el estudio de modelos formales de inferencia y su validación, sino también elementos de la filosofía del lenguaje y elementos de epistemología y metafísica. Debido a disputas con gramáticos árabes, los filósofos islámicos estuvieron muy interesados en trabajar en el estudio de las relaciones entre lógica y lenguaje, y dedicaron muchas discusiones a la cuestión del objeto de interés y objetivos de la lógica en relación con el razonamiento y el habla. En el área del análisis lógico-formal, elaboraron la teoría de los términos, proposiciones y silogismos. Consideraron el silogismo como la forma a la que toda argumentación racional podía reducirse, y consideraron la teoría silogística como el punto central de la lógica. Incluso, la poética fue considerada, en ciertos aspectos, como un arte silogístico por muchos de los más importantes lógicos islámicos.
Entre los más importantes desarrollos realizados por los lógicos musulmanes está el de la lógica de Avicena como sustituta de la lógica aristotélica. El sistema lógico de Avicena fue responsable de la introducción del silogismo hipotético,4 de la lógica modo-temporal,5 6 y de la lógica inductiva.7 8 Otro importante desarrollo en la filosofía islámica es el de una estricta ciencia de la cita, la isnad o "revisión", y el desarrollo de un método científico de investigación abierta para poner en cuestión determinadas afirmaciones, la ijtihad, que podía aplicarse normalmente a muchos tipos de cuestiones. Desde el siglo XII, a pesar de la sofisticación lógica de al-Ghazali, el auge de la escuela Asharite al final de la Edad Media limitó poco a poco la obra original sobre lógica en el mundo islámico, aunque continuó posteriormente en el siglo XV.
La Europa medieval
Se entiende habitualmente por "lógica medieval" (también conocida como "lógica escolástica") la forma de la lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval en el periodo de c 1200–1600. Esta tarea comenzó tras las traducciones al latín del siglo XII, cuando textos árabes sobre lógica aristotélica y la lógica de Avicena fueron traducidos a la lengua de Roma. Aunque la lógica de Avicena tuvo influencia en los primeros lógicos medievales europeos tales como Alberto Magno,9 la tradición aristotélica se convirtió en la dominante debido a la importante influencia del averroísmo.
Tras la fase inicial de traducciones, la tradición de la lógica medieval fue desarrollada en manuales como el de Petrus Hispanus (fl. siglo XIII), de identidad desconocida, que fue autor de un manual estándar sobre lógica, el Tractatus, que fue bien conocido en Europa durante varios siglos.
La tradición alcanzó su punto más alto en el siglo XIV, con las obras de Guillermo de Ockham (c. 1287–1347) y Jean Buridan.
Un rasgo del desarrollo de la lógica aristotélica se conoce con el nombre de teoría de la suposición, un estudio de la semántica de los términos de la proposición.
La últimas grandes obras de esta tradición son Logic de John Poinsot (1589–1644, conocido como John of St Thomas), y Disputas metafísicas de Francisco Suárez (1548–1617).
La Edad Moderna
La lógica de Port-Royal
Artículo principal: Lógica de Port-Royal.
La expresión "lógica tradicional" hace referencia, habitualmente, a la tradición de manuales que comienza con La logique ou l'art de penser de Antoine Arnauld y Pierre Nicole, más conocido como Lógica de Port-Royal. Publicada en 1662, fue la más influyente obra sobre lógica en Inglaterra hasta el Sistema Lógico de Mill de 1825 [N4]. El libro presenta una muy libre doctrina cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas antes que de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval. Entre 1664 y 1700 se publicaron ocho ediciones, y el libro tuvo considerable influencia. Fue frecuentemente reeditado en Inglaterra hasta finales del siglo XIX.
El tratamiento que realiza Locke de la proposición en el Ensayo es, esencialmente, el de Port-Royal: "Las proposiciones verbales, que son palabras, [son] los signos de nuestras ideas, ya vayan juntas o separadas en oraciones afirmativas o negativas. Así, pues, la proposición consiste en juntar o separar esos signos, de acuerdo con las cosas con las que están de acuerdo o en desacuerdo." (Locke, An Essay Concerning Human Understanding, IV. 5. 6)
Los trabajos más conocidos dentro de esta tradición son los de Isaac Watts, Logick: Or, the Right Use of Reason (1725), Richard Whately, Logic (1826), y John Stuart Mill, A System of Logic (1843), que fue una de las últimas grandes obras de la tradición.
La Edad Contemporánea
Históricamente, Descartes puede que haya sido el primer filósofo en haber tenido la idea de usar el álgebra, especialmente sus técnicas para resolver cantidades desconocidas en las ecuaciones, como vehículo para la exploración científica. La idea de un cálculo de razonamiento fue también cultivada por Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz fue el primero en formular la noción de un sistema de lógica matemática aplicable de forma generalizada. Sin embargo, los documentos relevantes al respecto no fueron publicados hasta 1901 y muchos de ellos siguen sin estar publicados, y la actual comprensión del poder de los descubrimientos de Leibniz no empezó a desarrollarse hasta los años ochenta.
Gottlob Frege en su Begriffsschrift (1879) extendió la lógica formal más allá de la lógica proposicional para incluir constructores como "todo" y "algunos". Mostró cómo introducir variables y cuantificadores para revelar la estructura lógica de las oraciones, que podría estar ocultas tras su estructura gramatical. Por ejemplo, "Todos los seres humanos son mortales" se convierte en "Toda cosa x es tal que, si x es un ser humano entonces x es mortal." La peculiar doble notación dimensional de Frege hizo que su obra fuese ignorada durante muchos años.
En un magistral artículo de 1885 leído por Peano, Ernst Schröder y otros, Charles Peirce introdujo el término "Lógica de segundo orden" proporcionando la mayor parte de la moderna notación lógica, incluyendo los símbolos prefijados para la cuantificación universal y existencial. Los lógicos de finales del siglo XIX y de comienzos del XX estuvieron más familiarizados con el sistema lógico de Peirce-Schröder, aunque generalmente se reconoce que Frege es el Padre de la lógica moderna.
En 1889, Giuseppe Peano publicó la primera versión de la axiomatización lógica de la aritmética. Cinco de los nueve axiomas son conocidos como axiomas de Peano. Uno de estos axiomas fue una formalización del principio de la inducción matemática.
